Fonctions primitives

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يناير 24, 2025

Fonctions primitives

ملخص الدرس :

1. Définition :

Une fonction primitive d'une fonction $f(x)$ est une fonction $F(x)$ telle que la dérivée de $F(x)$ est égale à $f(x)$ .

F'(x) = f(x)

Cela signifie que $F(x)$ est une antidérivée de $f(x)$ .

2. Notation :

La primitive d'une fonction $f(x)$ est souvent notée sous la forme :

\int f(x) \, dx = F(x) + C

où $C$ est une constante appelée constante d'intégration.

3. Propriétés des primitives :

La dérivée d'une primitive donne toujours la fonction originale : $\frac{d}{dx} \left( \int f(x) \, dx \right) = f(x)$
La somme des primitives suit la règle : $\int \left( f(x) + g(x) \right) dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx$
Le coefficient constant peut être mis en facteur : $\int k \cdot f(x) \, dx = k \cdot \int f(x) \, dx$

4. Primitives usuelles :

Voici quelques primitives courantes :

Constante :
$\int a \, dx = ax + C$
Puissance :
$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad \text{pour } n \neq -1$
Exponentielle :
$\int e^x \, dx = e^x + C$
Fonction inverse :
$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$
Trigonométrie :
$\int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C, \quad \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C$

تمارين تطبيقية :

تمرين 1 :

Calculez la primitive de chaque fonction suivante :

$f(x) = 3x^2$
$f(x) = \frac{1}{x}$
$f(x) = 5e^x$

تمرين 2 :

Trouvez la fonction $F(x)$ telle que $F'(x) = \cos(x)$ et $F(0) = 1$ .

تمرين 3 :

Soit $f(x) = 2x + 1$ . Trouvez la primitive $F(x)$ qui vérifie $F(1) = 3$ .

تمرين 4 :

Trouvez la primitive de $f(x) = \sin(x) + x^2$ et exprimez-la avec une constante $C$ .

نصائح للدراسة :

قم بمراجعة القواعد الأساسية للاشتقاق لفهم كيفية عكسها أثناء البحث عن التكامل.
تدرب على مجموعة متنوعة من التمارين لتغطية مختلف الحالات.
تأكد من كتابة الثابت $C$ دائمًا في النتيجة النهائية للتكامل.

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